Algebra Beispiele

$\sin (x) \leq \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x \leq \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x \leq \frac{π}{6}$

Schritt 3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 4

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) \leq \frac{1}{2}$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist größer als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) \leq \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (8) \leq \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $0.98935824$ ist größer als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falsch

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Wahr

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falsch

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falsch

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Wahr

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{5 π}{6} + 2 π n \leq x \leq \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10