Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$ als Gleichung.

$y = \frac{7 - 2 x}{3 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7 - 2 y}{3 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$ um.

$\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$ mit $3 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{7 - 2 y}{3 y} = x$ mit $3 y$ .

$\frac{7 - 2 y}{3 y} (3 y) = x (3 y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{7 - 2 y}{3 y} y = x (3 y)$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$3 \frac{7 - 2 y}{3 (y)} y = x (3 y)$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{7 - 2 y}{3 y} y = x (3 y)$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 - 2 y}{y} y = x (3 y)$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 - 2 y}{y} y = x (3 y)$

Schritt 3.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$7 - 2 y = x (3 y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 - 2 y = 3 x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 - 2 y - 3 x y = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y - 3 x y = - 7$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y - 3 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y \cdot - 2 - 3 x y = - 7$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 x y$ heraus.

$y \cdot - 2 + y (- 3 x) = - 7$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 2 + y (- 3 x)$ heraus.

$y (- 2 - 3 x) = - 7$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 2 - 3 x) = - 7$ durch $- 2 - 3 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 2 - 3 x) = - 7$ durch $- 2 - 3 x$ .

$\frac{y (- 2 - 3 x)}{- 2 - 3 x} = \frac{- 7}{- 2 - 3 x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 - 3 x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 2 - 3 x)}{- 2 - 3 x} = \frac{- 7}{- 2 - 3 x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 2 - 3 x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7}{- 2 - 3 x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = - \frac{7}{- 1 (2) - 3 x}$

Schritt 3.4.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = - \frac{7}{- 1 (2) - (3 x)}$

Schritt 3.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (3 x)$ heraus.

$y = - \frac{7}{- 1 (2 + 3 x)}$

Schritt 3.4.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.3.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{7}{2 + 3 x}$

Schritt 3.4.4.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{7}{2 + 3 x}$

Schritt 3.4.4.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{7}{2 + 3 x}$ mit $1$ .

$y = \frac{7}{2 + 3 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + 3 (\frac{7 - 2 x}{3 x})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + 3 (\frac{7 - 2 x}{3 (x)})}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + 3 (\frac{7 - 2 x}{3 x})}$

Schritt 5.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{2 + \frac{7 - 2 x}{x}}$

Schritt 5.2.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{2 x}{x} + \frac{7 - 2 x}{x}}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{2 x + 7 - 2 x}{x}}$

Schritt 5.2.3.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{2 x - 2 x + 7}{x}}$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe $\frac{2 x - 2 x + 7}{x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.5.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{0 + 7}{x}}$

Schritt 5.2.3.5.2

Addiere $0$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 5.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 - 2 x}{3 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7}{2 + 3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 - 2 \frac{7}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $- 2 \frac{7}{2 + 3 x}$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{7}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 + \frac{- 2 \cdot 7}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 + \frac{- 14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{7 - \frac{14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.3

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x) - 14}{2 + 3 x}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.5

Stelle die Terme um.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x) - 14}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $\frac{7 (2 + 3 x) - 14}{3 x + 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 (2 + 3 x) - 14$ heraus.

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Schritt 5.3.3.6.1.1

Faktorisiere $7$ aus $- 14$ heraus.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x) + 7 \cdot - 2}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.6.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7 (2 + 3 x) + 7 \cdot - 2$ heraus.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (2 + 3 x - 2)}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 (3 x + 0)}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.6.3

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{7 \cdot (3 x)}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.3.6.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{21 x}{3 x + 2}}{3 (\frac{7}{2 + 3 x})}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{21 x}{3 x + 2}}{\frac{3 \cdot 7}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{21 x}{3 x + 2}}{\frac{21}{2 + 3 x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{21 x}{3 x + 2} \cdot \frac{2 + 3 x}{21}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $21$ aus $21 x$ heraus.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{21 (x)}{3 x + 2} \cdot \frac{2 + 3 x}{21}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{21 x}{3 x + 2} \cdot \frac{2 + 3 x}{21}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x}{3 x + 2} \cdot (2 + 3 x)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{3 x + 2}$ mit $2 + 3 x$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x (2 + 3 x)}{3 x + 2}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + 3 x$ und $3 x + 2$ .

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Schritt 5.3.8.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = \frac{x (3 x + 2)}{3 x + 2}$

Schritt 5.3.8.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7}{2 + 3 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7 - 2 x}{3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{2 + 3 x}$