Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{3} + x^{2}) - 8 x - 4 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(2 x + 1) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(2 x + 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 2$

Schritt 1.2.3

Schließe die Lösungen aus, die $0 = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{1}{2}, - 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\frac{2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.1.7

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$y = \frac{- 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{- 4}{0 - 3 \cdot 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = \frac{- 4}{0 + 0 + 2}$

Schritt 2.2.5.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{- 4}{0 + 2}$

Schritt 2.2.5.2.4

Addiere $0$ und $2$ .

$y = \frac{- 4}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$y = - 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 4