Algebra Beispiele

$y = - \sqrt{x + 3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \sqrt{y + 3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{y + 3} = x$ um.

$- \sqrt{y + 3} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{y + 3} = x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{y + 3} = x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 3}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{y + 3}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\sqrt{y + 3}$ durch $1$ .

$\sqrt{y + 3} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 3} = - 1 \cdot x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sqrt{y + 3} = - x$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 3}$ als ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 3 = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y + 3 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y + 3 = 1 x^{2}$

Schritt 2.4.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y + 3 = x^{2}$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \sqrt{x + 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(- \sqrt{x + 3})}^{2} - 3$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x + 3}$ an.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = 1 {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ als $x + 3$ um.

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Schritt 4.2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 3}$ als ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

Schritt 4.2.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

Schritt 4.2.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 3$

Schritt 4.2.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 3$

Schritt 4.2.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = (x + 3) - 3$

Schritt 4.2.3.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{2} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{(x^{2} - 3) + 3}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 4.3.4

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 3) = - x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$