Algebra Beispiele

$8 + | 4 v - 7 | \geq 17$

Schritt 1

Schreibe $8 + | 4 v - 7 | \geq 17$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$4 v - 7 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $7$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 v \geq 7$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 v \geq 7$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 v \geq 7$ durch $4$ .

$\frac{4 v}{4} \geq \frac{7}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 v}{4} \geq \frac{7}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v \geq \frac{7}{4}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $4 v - 7$ nicht negativ ist.

$8 + 4 v - 7 \geq 17$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$4 v - 7 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Addiere $7$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 v < 7$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 v < 7$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 v < 7$ durch $4$ .

$\frac{4 v}{4} < \frac{7}{4}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 v}{4} < \frac{7}{4}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v < \frac{7}{4}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $4 v - 7$ negativ ist.

$8 - (4 v - 7) \geq 17$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 8 + 4 v - 7 \geq 17 & v \geq \frac{7}{4} \\ 8 - (4 v - 7) \geq 17 & v < \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8

Subtrahiere $7$ von $8$ .

${\begin{cases} 4 v + 1 \geq 17 & v \geq \frac{7}{4} \\ 8 - (4 v - 7) \geq 17 & v < \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $8 - (4 v - 7) \geq 17$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 4 v + 1 \geq 17 & v \geq \frac{7}{4} \\ 8 - (4 v) - - 7 \geq 17 & v < \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 4 v + 1 \geq 17 & v \geq \frac{7}{4} \\ 8 - 4 v - - 7 \geq 17 & v < \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

${\begin{cases} 4 v + 1 \geq 17 & v \geq \frac{7}{4} \\ 8 - 4 v + 7 \geq 17 & v < \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $8$ und $7$ .

${\begin{cases} 4 v + 1 \geq 17 & v \geq \frac{7}{4} \\ - 4 v + 15 \geq 17 & v < \frac{7}{4} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $4 v + 1 \geq 17$ nach $v$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 v \geq 17 - 1$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $1$ von $17$ .

$4 v \geq 16$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 v \geq 16$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 v \geq 16$ durch $4$ .

$\frac{4 v}{4} \geq \frac{16}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 v}{4} \geq \frac{16}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v \geq \frac{16}{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$v \geq 4$

Schritt 3

Löse $- 4 v + 15 \geq 17$ nach $v$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 v \geq 17 - 15$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $15$ von $17$ .

$- 4 v \geq 2$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 v \geq 2$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- 4 v \geq 2$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 v}{- 4} \leq \frac{2}{- 4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 v}{- 4} \leq \frac{2}{- 4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v \leq \frac{2}{- 4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 4$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$v \leq \frac{2 (1)}{- 4}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$v \leq \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v \leq \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v \leq \frac{1}{- 2}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v \leq - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$v \leq - \frac{1}{2}$ oder $v \geq 4$

Schritt 5