Algebra Beispiele

$5^{x - 3} = 4^{3 - x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (5^{x - 3}) = \ln (4^{3 - x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{x - 3})$ durch Herausziehen von $x - 3$ aus dem Logarithmus.

$(x - 3) \ln (5) = \ln (4^{3 - x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (4^{3 - x})$ durch Herausziehen von $3 - x$ aus dem Logarithmus.

$(x - 3) \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x - 3) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 3) \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 3) \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) - 3 \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) - 3 \ln (5) = 3 \ln (4) - x \ln (4)$

Schritt 4.3

Addiere $x \ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) - 3 \ln (5) + x \ln (4) = 3 \ln (4)$

Schritt 4.4

Addiere $3 \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) + x \ln (4) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5) + x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (5)) + x \ln (4) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4)$ heraus.

$x (\ln (5)) + x (\ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (5)) + x (\ln (4))$ heraus.

$x (\ln (5) + \ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (5) + \ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ durch $\ln (5) + \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (5) + \ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ durch $\ln (5) + \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (5) + \ln (4))}{\ln (5) + \ln (4)} = \frac{3 \ln (4)}{\ln (5) + \ln (4)} + \frac{3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5) + \ln (4)$ .

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Schritt 4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (5) + \ln (4))}{\ln (5) + \ln (4)} = \frac{3 \ln (4)}{\ln (5) + \ln (4)} + \frac{3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 \ln (4)}{\ln (5) + \ln (4)} + \frac{3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 \ln (4) + 3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.6.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{3 \ln (4) + 3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{3 \ln (4) + 3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ heraus.

$x = \frac{3 (\ln (4) + \ln (5))}{\ln (5) + \ln (4)}$

Schritt 4.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\ln (4) + \ln (5)$ und $\ln (5) + \ln (4)$ .

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Schritt 4.6.3.3.1

Stelle die Terme um.

$x = \frac{3 (\ln (4) + \ln (5))}{\ln (4) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 (\ln (4) + \ln (5))}{\ln (4) + \ln (5)}$

Schritt 4.6.3.3.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$x = 3$