Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 1.3

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{3 \cdot 5}$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{15}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x} < \frac{3 - 5}{15}$

Schritt 1.6

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{- 2}{15}$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x} < - \frac{2}{15}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = - \frac{2}{15} x$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{15} x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{15}$ .

$1 = - \frac{x \cdot 2}{15}$

Schritt 3.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = - \frac{2 x}{15}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{2 x}{15} = 1$ um.

$- \frac{2 x}{15} = 1$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{15}{2}$ .

$- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15})$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{15}$ in den Zähler.

$\frac{- 15}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.1.3

Faktorisiere $15$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{15 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} (- 2 x) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = - \frac{15}{2}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{x} + \frac{2}{15}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{15}{2}$

$- \frac{15}{2} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{15}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{15}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- 10} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $0.2\overline{3}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{15}{2} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{15}{2} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $0.08\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $0.8\overline{3}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{15}{2}$ Falsch

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - \frac{15}{2}$ Falsch

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{15}{2}, 0)$

Schritt 10