Algebra Beispiele

$6 x^{2} + 17 x > 6 x - 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x^{2} + 17 x - 6 x > - 3$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6 x$ von $17 x$ .

$6 x^{2} + 11 x > - 3$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$6 x^{2} + 11 x = - 3$

Schritt 3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} + 11 x + 3 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 3 = 18$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$6 x^{2} + 11 (x) + 3 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $11$ um als $2$ plus $9$

$6 x^{2} + (2 + 9) x + 3 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 2 x + 9 x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 2 x) + 9 x + 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x + 1) + 3 (3 x + 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (2 x + 3) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Schritt 6

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 7

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (2 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, - \frac{3}{2}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{3}$

$x > - \frac{1}{3}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(- 4)}^{2} + 17 (- 4) > 6 (- 4) - 3$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $28$ ist größer als die rechte Seite $- 27$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(- 1)}^{2} + 17 (- 1) > 6 (- 1) - 3$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 11$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(0)}^{2} + 17 (0) > 6 (0) - 3$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$x > - \frac{1}{3}$ Wahr

$x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$x > - \frac{1}{3}$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{3}{2}$ oder $x > - \frac{1}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{3}{2} or x > - \frac{1}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{1}{3}, \infty)$

Schritt 13