Algebra Beispiele

${(\sqrt{3})}^{10 k} = 81^{k + 3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{10 k} = 81^{k + 3}$

Schritt 2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} (10 k)} = 81^{k + 3}$

Schritt 3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{\frac{1}{2} (10 k)} = 3^{4 (k + 3)}$

Schritt 4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$\frac{1}{2} (10 k) = 4 (k + 3)$

Schritt 5

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (10 k)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (10 k) = 4 (k + 3)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{1}{2} \cdot (10 k) = 4 (k + 3)$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 k$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (5 k)) = 4 (k + 3)$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (5 k)) = 4 (k + 3)$

Schritt 5.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$5 k = 4 (k + 3)$

Schritt 5.2

Vereinfache $4 (k + 3)$ .

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 k = 4 k + 4 \cdot 3$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$5 k = 4 k + 12$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die $k$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $4 k$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 k - 4 k = 12$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $4 k$ von $5 k$ .

$k = 12$