Algebra Beispiele

$\cos (x) \leq - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x \leq \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x \leq \frac{2 π}{3}$

Schritt 3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 4

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (3) \leq - \frac{1}{2}$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 0.98999249$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (6) \leq - \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $0.96017028$ ist größer als die rechte Seite $- 0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ Wahr

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ Falsch

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ Wahr

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{2 π}{3} + 2 π n \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10