Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{8}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 4

Multipliziere $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5 + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.5

Multipliziere $\sqrt{5} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{5 + 2 \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.8

Multipliziere $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.1.8.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 3}$

Schritt 5.1.8.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 3}$

Schritt 5.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 3}$

Schritt 5.1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{- 3}$

Schritt 5.1.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.1.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 3}$

Schritt 5.1.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 3}$

Schritt 5.1.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Schritt 5.1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Schritt 5.1.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{1}}{- 3}$

Schritt 5.1.9.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2}{- 3}$

Schritt 5.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 4}{- 3}$

Schritt 5.2

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{9 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Schritt 5.3

Addiere $2 \sqrt{10}$ und $\sqrt{10}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{10}}{- 3}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9 + 3 \sqrt{10}$ und $- 3$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 (3) + 3 \sqrt{10}}{- 3}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{10}$ heraus.

$\frac{3 (3) + 3 (\sqrt{10})}{- 3}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3) + 3 (\sqrt{10})$ heraus.

$\frac{3 (3 + \sqrt{10})}{- 3}$

Schritt 6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3 + \sqrt{10}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (3 + \sqrt{10})$

Schritt 7

Schreibe $- 1 \cdot (3 + \sqrt{10})$ als $- (3 + \sqrt{10})$ um.

$- (3 + \sqrt{10})$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 3 - \sqrt{10}$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 - \sqrt{10}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 3 - \sqrt{10}$

Dezimalform:

$- 6.16227766 \dots$