Algebra Beispiele

$3 + 2 y = \sqrt{- y}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{- y} = 3 + 2 y$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- y}}^{2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- y}$ als ${(- y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- y)}^{1} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$- y = {(3 + 2 y)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(3 + 2 y)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(3 + 2 y)}^{2}$ als $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ um.

$- y = (3 + 2 y) (3 + 2 y)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = 3 (3 + 2 y) + 2 y (3 + 2 y)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = 3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y (3 + 2 y)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = 3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- y = 9 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- y = 9 + 6 y + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 y (2 y)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2 y \cdot y$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2 (y \cdot y)$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2 y^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 4 y^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $6 y$ und $6 y$ .

$- y = 9 + 12 y + 4 y^{2}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 + 12 y + 4 y^{2} = - y$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 + 12 y + 4 y^{2} + y = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $12 y$ und $y$ .

$9 + 4 y^{2} + 13 y = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.1

Stelle die Terme um.

$4 y^{2} + 13 y + 9 = 0$

Schritt 4.3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $13$ aus $13 y$ heraus.

$4 y^{2} + 13 (y) + 9 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $13$ um als $4$ plus $9$

$4 y^{2} + (4 + 9) y + 9 = 0$

Schritt 4.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} + 4 y + 9 y + 9 = 0$

Schritt 4.3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 y^{2} + 4 y) + 9 y + 9 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 y (y + 1) + 9 (y + 1) = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 1$ .

$(y + 1) (4 y + 9) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$4 y + 9 = 0$

Schritt 4.5

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 4.6

Setze $4 y + 9$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $4 y + 9$ gleich $0$ .

$4 y + 9 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $4 y + 9 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - 9$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 9$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 9}{4}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 9}{4}$

Schritt 4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 9}{4}$

Schritt 4.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{9}{4}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 1) (4 y + 9) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, - \frac{9}{4}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $3 + 2 y = \sqrt{- y}$ nicht erfüllen.

$y = - 1$