Algebra Beispiele

$10 \sqrt{\frac{x}{5}} = 2 \sqrt{5 x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(10 \sqrt{\frac{x}{5}})}^{2} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x}{5}}$ als ${(\frac{x}{5})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(10 {(\frac{x}{5})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(10 {(\frac{x}{5})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{5}$ an.

${(10 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}})}^{2} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $10$ und $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{10 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}})}^{2} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{10 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$ an.

$\frac{{(10 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $10 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$\frac{10^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\frac{100 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{100 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100 x^{1}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.4.3

Vereinfache.

$\frac{100 x}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{100 x}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100 x}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100 x}{5^{1}} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{100 x}{5} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $5$ .

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Schritt 2.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $100 x$ heraus.

$\frac{5 (20 x)}{5} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (20 x)}{5 (1)} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (20 x)}{5 \cdot 1} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20 x}{1} = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2.4

Dividiere $20 x$ durch $1$ .

$20 x = {(2 \sqrt{5 x})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 \sqrt{5 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5 x}$ an.

$20 x = 2^{2} {\sqrt{5 x}}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$20 x = 4 {\sqrt{5 x}}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5 x}}^{2}$ als $5 x$ um.

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Schritt 2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$20 x = 4 {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x = 4 {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$20 x = 4 {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 x = 4 {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$20 x = 4 {(5 x)}^{1}$

Schritt 2.3.1.2.5

Vereinfache.

$20 x = 4 (5 x)$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 x = 20 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $20 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x - 20 x = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $20 x$ von $20 x$ .

$0 = 0$

Schritt 3.2

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$