Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 7 x - 8} \cdot \frac{20 x - 4 x^{2}}{x^{2} + x - 30} \cdot \frac{x^{2} + 14 x + 48}{x + 5}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 14 x + 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $48$ und deren Summe $14$ ist.

$6, 8$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 7 x - 8} \cdot \frac{20 x - 4 x^{2}}{x^{2} + x - 30} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 7 x - 8} \cdot \frac{20 x - 4 x^{2}}{x^{2} + x - 30} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 7 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $7$ ist.

$- 1, 8$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x - 1) (x + 8)} \cdot \frac{20 x - 4 x^{2}}{x^{2} + x - 30} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 4

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x - 1) (x + 8)} \cdot \frac{4 x (5) - 4 x^{2}}{x^{2} + x - 30} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x - 1) (x + 8)} \cdot \frac{4 x (5) + 4 x (- x)}{x^{2} + x - 30} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (5) + 4 x (- x)$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x - 1) (x + 8)} \cdot \frac{4 x (5 - x)}{x^{2} + x - 30} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + x - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $1$ ist.

$- 5, 6$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x - 1) (x + 8)} \cdot \frac{4 x (5 - x)}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x - 1) (x + 8)} \cdot \frac{4 x (5 - x)}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x (5 - x)}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 - x$ und $x - 5$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x (- 1 (- 5) - x)}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x (- 1 (- 5) - (x))}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 5) - (x)$ heraus.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x (- 1 (- 5 + x))}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x + 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 6.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x \cdot (- 1)}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{- 4 x}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x + 5}{x + 8} \cdot (- \frac{4 x}{x + 6}) \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 8.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{x + 5}{x + 8} \cdot \frac{4 x}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\frac{4 x}{x + 6}$ mit $\frac{x + 5}{x + 8}$ .

$- \frac{4 x (x + 5)}{(x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 8.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x (x + 5)}{(x + 6) (x + 8)}$ in den Zähler.

$\frac{- 4 x (x + 5)}{(x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $- 4 x (x + 5)$ heraus.

$\frac{(x + 5) (- 4 x)}{(x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (- 4 x)}{(x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 6) (x + 8)}{x + 5}$

Schritt 8.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 x}{(x + 6) (x + 8)} \cdot ((x + 6) (x + 8))$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 6) (x + 8)$ .

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Schritt 8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{(x + 6) (x + 8)} \cdot ((x + 6) (x + 8))$

Schritt 8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 x$