Algebra Beispiele

$\log_{3} (2 x^{2} + 2) - \log_{3} (x + 3) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 2}{x + 3}) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2}{x + 3}) = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x + 3}) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 (x^{2} + 1) = 3^{0} (x + 3)$

Schritt 4

Vereinfache $3^{0} (x + 3)$ .

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Schritt 4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = 1 (x + 3)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = x + 3$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 (x^{2} + 1) - x = 3$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 - x = 3$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 2 - x = 3$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - x = 3 - 2$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 x^{2} - x = 1$

Schritt 7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Schritt 8.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Dezimalform:

$x = - 0.5, 1$