Algebra Beispiele

$\frac{j^{2} + 7 j + 6}{12 j^{3} - 14 j^{2} - 10 j}$

Schritt 1

Faktorisiere $j^{2} + 7 j + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $7$ ist.

$1, 6$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{12 j^{3} - 14 j^{2} - 10 j}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 j$ aus $12 j^{3} - 14 j^{2} - 10 j$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2 j$ aus $12 j^{3}$ heraus.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2}) - 14 j^{2} - 10 j}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2 j$ aus $- 14 j^{2}$ heraus.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2}) + 2 j (- 7 j) - 10 j}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2 j$ aus $- 10 j$ heraus.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2}) + 2 j (- 7 j) + 2 j (- 5)}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $2 j$ aus $2 j (6 j^{2}) + 2 j (- 7 j)$ heraus.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2} - 7 j) + 2 j (- 5)}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2 j$ aus $2 j (6 j^{2} - 7 j) + 2 j (- 5)$ heraus.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2} - 7 j - 5)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 j$ heraus.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2} - 7 (j) - 5)}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $3$ plus $- 10$

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2} + (3 - 10) j - 5)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (6 j^{2} + 3 j - 10 j - 5)}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j ((6 j^{2} + 3 j) - 10 j - 5)}$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (3 j (2 j + 1) - 5 (2 j + 1))}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 j + 1$ .

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j ((2 j + 1) (3 j - 5))}$

$\frac{(j + 1) (j + 6)}{2 j (2 j + 1) (3 j - 5)}$