Algebra Beispiele

$\frac{5 r}{r^{2} - 9} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{5 r}{r^{2} - 3^{2}} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 3^{2}}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 r = 2 \cdot r \cdot 3$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 3 + 3^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = r$ und $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Um $- \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ mit $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) (r - 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Schritt 4.2

Potenziere $r - 3$ mit $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} (r - 3))} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Schritt 4.3

Potenziere $r - 3$ mit $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} {(r - 3)}^{1})} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{1 + 1}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ mit $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 4.7

Stelle die Faktoren von $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ um.

$\frac{5 r (r - 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 r (r - 3) - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 r \cdot r + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Bewege $r$ .

$\frac{5 (r \cdot r) + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{5 r^{2} + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- (4 r) - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.7

Multipliziere $(- 4 r - 1) (r + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r (r + 3) - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1.1.1

Bewege $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 (r \cdot r) - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.8.1.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.8.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.8.1.3

Schreibe $- 1 r$ als $- r$ um.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.8.2

Subtrahiere $r$ von $- 12 r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.9

Subtrahiere $4 r^{2}$ von $5 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 15 r - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Schritt 6.10

Subtrahiere $13 r$ von $- 15 r$ .

$\frac{r^{2} - 28 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$