Algebra Beispiele

$y = x^{2} - 4 x + 2$ $y = - \frac{3}{4} x - 1$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{3}{4} x - 1$

Schritt 2

Löse $x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{3}{4} x - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 1$

Schritt 2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{3 x}{4} - 1$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $\frac{3 x}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 2 + \frac{3 x}{4} = - 1$

Schritt 2.2.2

Um $- 4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 4 x \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x}{4} + 2 = - 1$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 4 x$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 4}{4} + \frac{3 x}{4} + 2 = - 1$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Schritt 2.2.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe $x^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Schritt 2.2.5.4

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + \frac{2}{1} = - 1$

Schritt 2.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} = - 1$

Schritt 2.2.5.6

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} = - 1$

Schritt 2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot 4 + 3 x + 2 \cdot 4}{4} = - 1$

Schritt 2.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 4 + 3 x + 2 \cdot 4}{4} = - 1$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 3 x + 2 \cdot 4}{4} = - 1$

Schritt 2.2.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 3 x + 8}{4} = - 1$

Schritt 2.2.8

Addiere $- 16 x$ und $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 13 x + 8}{4} = - 1$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 13 x + 8}{4} \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2} - 13 x + 8}{4} \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} - 13 x + 8 = - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 13 x + 8 = - 4$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.5.1.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 13 x + 8 + 4 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Addiere $8$ und $4$ .

$4 x^{2} - 13 x + 12 = 0$

Schritt 2.5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = - \frac{3}{4} x - 1$

Schritt 2.5.3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 13$ und $c = 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 12)}}{2 \cdot 4} + y = - \frac{3}{4} x - 1$

Schritt 2.5.4

Vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1.1

Potenziere $- 13$ mit $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 12$ .

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Schritt 2.5.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 16 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $12$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 192}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.1.3

Subtrahiere $192$ von $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.5.1.1

Potenziere $- 13$ mit $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 12$ .

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Schritt 2.5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 16 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $12$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 192}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.5.1.3

Subtrahiere $192$ von $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.1.1

Potenziere $- 13$ mit $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 12$ .

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Schritt 2.5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 16 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $12$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 192}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.1.3

Subtrahiere $192$ von $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}, \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$

Schritt 3.2

Setze $\frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ für $x$ in $y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{(13 + i \sqrt{23}) \cdot 3}{8 \cdot 4} - 1$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$y = - \frac{(13 + i \sqrt{23}) \cdot 3}{32} - 1$

Schritt 3.2.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $13 + i \sqrt{23}$ .

$y = - \frac{3 (13 + i \sqrt{23})}{32} - 1$

Schritt 3.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 + i \sqrt{23})}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}$

Schritt 3.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 + i \sqrt{23})}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 71 - 3 i \sqrt{23}}{32}$

Schritt 3.2.2.5

Schreibe $- 71$ als $- 1 (71)$ um.

$y = \frac{- 1 (71) - 3 i \sqrt{23}}{32}$

Schritt 3.2.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 i \sqrt{23}$ heraus.

$y = \frac{- 1 (71) - (3 i \sqrt{23})}{32}$

Schritt 3.2.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (71) - (3 i \sqrt{23})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (71 + 3 i \sqrt{23})}{32}$

Schritt 3.2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{71 + 3 i \sqrt{23}}{32}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$

Schritt 4.2

Setze $\frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ für $x$ in $y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$ .

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{(13 - i \sqrt{23}) \cdot 3}{8 \cdot 4} - 1$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$y = - \frac{(13 - i \sqrt{23}) \cdot 3}{32} - 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $13 - i \sqrt{23}$ .

$y = - \frac{3 (13 - i \sqrt{23})}{32} - 1$

Schritt 4.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 - i \sqrt{23})}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}$

Schritt 4.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 - i \sqrt{23})}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 71 + 3 i \sqrt{23}}{32}$

Schritt 4.2.2.5

Schreibe $- 71$ als $- 1 (71)$ um.

$y = \frac{- 1 (71) + 3 i \sqrt{23}}{32}$

Schritt 4.2.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $3 i \sqrt{23}$ heraus.

$y = \frac{- 1 (71) - (- 3 i \sqrt{23})}{32}$

Schritt 4.2.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (71) - (- 3 i \sqrt{23})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (71 - 3 i \sqrt{23})}{32}$

Schritt 4.2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{71 - 3 i \sqrt{23}}{32}$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$y = - \frac{71 + 3 i \sqrt{23}}{32}, x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$

$y = - \frac{71 - 3 i \sqrt{23}}{32}, x = \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 6