Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 1) (x + 2)$ heraus.

$\frac{x + 1}{(x + 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{(x + 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - 1}$