Algebra Beispiele

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} = 80$

Schritt 1

Subtrahiere $80$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$(2 x - 5) (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe ${(x - 6)}^{2}$ als $(x - 6) (x - 6)$ um.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - ((x - 6) (x - 6)) - 80 = 0$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $(x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x (x - 6) - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Schritt 2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Schritt 2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Schritt 2.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 80 = 0$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 12 x + 36) - 80 = 0$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} - (- 12 x) - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 36 - 80 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x + 25 + 12 x - 36 - 80 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $- 20 x$ und $12 x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 25 - 36 - 80 = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $36$ von $25$ .

$3 x^{2} - 8 x - 11 - 80 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $80$ von $- 11$ .

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 91 = - 273$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 8$ um als $13$ plus $- 21$

$3 x^{2} + (13 - 21) x - 91 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 13 x - 21 x - 91 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 13 x) - 21 x - 91 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 13) - 7 (3 x + 13) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 13$ .

$(3 x + 13) (x - 7) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 13 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 5

Setze $3 x + 13$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x + 13$ gleich $0$ .

$3 x + 13 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x + 13 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 13$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 13$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 13$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 13}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{13}{3}$

Schritt 6

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 13) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Dezimalform:

$x = - 4.\overline{3}, 7$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 4 \frac{1}{3}, 7$