Algebra Beispiele

$d = 0.2 t^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$t = 0.2 y^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $0.2 y^{\frac{3}{2}} = t$ um.

$0.2 y^{\frac{3}{2}} = t$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $0.2 y^{\frac{3}{2}} = t$ durch $0.2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $0.2 y^{\frac{3}{2}} = t$ durch $0.2$ .

$\frac{0.2 y^{\frac{3}{2}}}{0.2} = \frac{t}{0.2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.2 y^{\frac{3}{2}}}{0.2} = \frac{t}{0.2}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $y^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{t}{0.2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{1 t}{0.2}$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2$ heraus.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{1 t}{0.2 (1)}$

Schritt 2.2.3.3

Separiere Brüche.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{t}{1}$

Schritt 2.2.3.4

Dividiere $1$ durch $0.2$ .

$y^{\frac{3}{2}} = 5 \frac{t}{1}$

Schritt 2.2.3.5

Dividiere $t$ durch $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = 5 t$

Schritt 2.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(5 t)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(5 t)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(5 t)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 t)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 t)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(5 t)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(5 t)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Wende die Produktregel auf $5 t$ an.

$y = 5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (t)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (t) = 5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (t) = 5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (t) = 0.2 t^{\frac{3}{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (t)) = t$ ist und $f (f^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (t))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (t))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} {(0.2 t^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3

Wende die Produktregel auf $0.2 t^{\frac{3}{2}}$ an.

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} ({0.2}^{\frac{2}{3}} {(t^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.2.4

Potenziere $0.2$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} (0.34199518 {(t^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} (0.34199518 t^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}})$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} (0.34199518 t^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}})$

Schritt 4.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} (0.34199518 t^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} (0.34199518 t^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 4.2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 5^{\frac{2}{3}} (0.34199518 t)$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $0.34199518$ mit $5^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (0.2 t^{\frac{3}{2}}) = 1 t$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (t))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (t))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 {(5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.3

Wende die Produktregel auf $5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}$ an.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 ({(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} {(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} {(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} {(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5 {(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5 t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5 t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}})$

Schritt 4.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5 t^{\frac{1}{3} \cdot 3})$

Schritt 4.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5 t^{\frac{1}{3} \cdot 3})$

Schritt 4.3.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 0.2 (5 t)$

Schritt 4.3.6

Multipliziere $0.2 (5 t)$ .

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $0.2$ .

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = 1 t$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$f (5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}) = t$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (t)) = t$ und $f (f^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $f^{- 1} (t) = 5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (t) = 0.2 t^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{- 1} (t) = 5^{\frac{2}{3}} t^{\frac{2}{3}}$