Algebra Beispiele

$16 x^{2} - 4 y^{2} = 12 y - 16 x + 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $12 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 4 y^{2} - 12 y = - 16 x + 1$

Schritt 1.2

Addiere $16 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 4 y^{2} - 12 y + 16 x = 1$

Schritt 1.3

Bewege $- 12 y$ .

$16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $16 x^{2} + 16 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 16$

$b = 16$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{16}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (16)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 16}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{8}{16}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $16$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{8 (1)}{16}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$d = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 16}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16^{2}$ und $16$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $4 \cdot 16$ heraus.

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{16}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 2.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 2.4.2.1.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$ ein.

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$

Schritt 3

Setze $16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$ für $16 x^{2} + 16 x$ ein in der Gleichung $16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 - 4 y^{2} - 12 y = 1$

Schritt 4

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} - 12 y = 1 + 4$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 y^{2} - 12 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = - 12$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 4)}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 4$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{2}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 4}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 16}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 9$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$e = 9$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$ ein.

$- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$

Schritt 6

Setze $- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$ für $- 4 y^{2} - 12 y$ ein in der Gleichung $16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9 = 1 + 4$

Schritt 7

Bringe $9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 + 4 - 9$

Schritt 8

Vereinfache $1 + 4 - 9$ .

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $4$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 5 - 9$

Schritt 8.2

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - 4$

Schritt 9

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$- 16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 4$

Schritt 10

Teile jeden Term durch $4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{16 {(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4} + \frac{4 {(y + \frac{3}{2})}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$