Algebra Beispiele

\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Schritt 1

Ersetze

\cos^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ)$ durch

1 - \sin^{2} (θ)

$1 - \sin^{2} (θ)$ .

(1 - \sin^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0

$(1 - \sin^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Schritt 2

Löse nach

θ

$θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze

\sin (θ)

$\sin (θ)$ durch

u

$u$ .

1 - {(u)}^{2} - {(u)}^{2} + u = 0

$1 - {(u)}^{2} - {(u)}^{2} + u = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere

u^{2}

$u^{2}$ von

- u^{2}

$- u^{2}$ .

1 - 2 u^{2} + u = 0

$1 - 2 u^{2} + u = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

1 - 2 u^{2} + u

$1 - 2 u^{2} + u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Bewege

1

$1$ .

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

$- 2 u^{2} + u + 1 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- 2 u^{2}

$- 2 u^{2}$ heraus.

- (2 u^{2}) + u + 1 = 0

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

u

$u$ heraus.

- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe

1

$1$ als

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ um.

- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.3.1.5

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- (2 u^{2}) - 1 (- u)

$- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ heraus.

- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.3.1.6

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)

$- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ heraus.

- (2 u^{2} - u - 1) = 0

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

- (2 u^{2} - u - 1) = 0

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich

b = - 1

$b = - 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1.1

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- u

$- u$ heraus.

- (2 u^{2} - u - 1) = 0

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Schreibe

- 1

$- 1$ um als

1

$1$ plus

- 2

$- 2$

- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.4

Mutltipliziere

u

$u$ mit

1

$1$ .

- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Schritt 2.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

2 u + 1

$2 u + 1$ .

- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

- (2 u + 1) (u - 1) = 0

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

- (2 u + 1) (u - 1) = 0

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

- (2 u + 1) (u - 1) = 0

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

2 u + 1 = 0

$2 u + 1 = 0$

u - 1 = 0

$u - 1 = 0$

Schritt 2.5

Setze

2 u + 1

$2 u + 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

u

$u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze

2 u + 1

$2 u + 1$ gleich

0

$0$ .

2 u + 1 = 0

$2 u + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse

2 u + 1 = 0

$2 u + 1 = 0$ nach

u

$u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 u = - 1

$2 u = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 u = - 1

$2 u = - 1$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 u = - 1

$2 u = - 1$ durch

2

$2$ .

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere

u

$u$ durch

1

$1$ .

u = \frac{- 1}{2}

$u = \frac{- 1}{2}$

u = \frac{- 1}{2}

$u = \frac{- 1}{2}$

u = \frac{- 1}{2}

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

u = - \frac{1}{2}

$u = - \frac{1}{2}$

u = - \frac{1}{2}

$u = - \frac{1}{2}$

u = - \frac{1}{2}

$u = - \frac{1}{2}$

u = - \frac{1}{2}

$u = - \frac{1}{2}$

u = - \frac{1}{2}

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Setze

u - 1

$u - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

u

$u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Setze

u - 1

$u - 1$ gleich

0

$0$ .

u - 1 = 0

$u - 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

u = 1

$u = 1$

u = 1

$u = 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

- (2 u + 1) (u - 1) = 0

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

u = - \frac{1}{2}, 1

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 2.8

Ersetze

u

$u$ durch

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

\sin (θ) = - \frac{1}{2}, 1

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 2.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

θ

$θ$ aufzulösen.

\sin (θ) = - \frac{1}{2}

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

\sin (θ) = 1

$\sin (θ) = 1$

Schritt 2.10

Löse in

\sin (θ) = - \frac{1}{2}

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$ nach

θ

$θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

θ

$θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

θ = \arcsin (- \frac{1}{2})

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 2.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.2.1

Der genau Wert von

\arcsin (- \frac{1}{2})

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ .

θ = - \frac{π}{6}

$θ = - \frac{π}{6}$

θ = - \frac{π}{6}

$θ = - \frac{π}{6}$

Schritt 2.10.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von

2 π

$2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu

π

$π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

θ = 2 π + \frac{π}{6} + π

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 2.10.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.4.1

Subtrahiere

2 π

$2 π$ von

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 2.10.4.2

Der resultierende Winkel von

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als

2 π

$2 π$ und gleich

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

θ = \frac{7 π}{6}

$θ = \frac{7 π}{6}$

θ = \frac{7 π}{6}

$θ = \frac{7 π}{6}$

Schritt 2.10.5

Ermittele die Periode von

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.10.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.10.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 2.10.6

Addiere

2 π

$2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.6.1

Addiere

2 π

$2 π$ zu

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

- \frac{π}{6} + 2 π

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 2.10.6.2

2 π

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.10.6.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.6.3.1

Kombiniere

2 π

$2 π$ und

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.10.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 2.10.6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.10.6.4.1

Mutltipliziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

\frac{12 π - π}{6}

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 2.10.6.4.2

Subtrahiere

π

$π$ von

12 π

$12 π$ .

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 2.10.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

θ = \frac{11 π}{6}

$θ = \frac{11 π}{6}$

θ = \frac{11 π}{6}

$θ = \frac{11 π}{6}$

Schritt 2.10.7

Die Periode der Funktion

\sin (θ)

$\sin (θ)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 2.11

Löse in

\sin (θ) = 1

$\sin (θ) = 1$ nach

θ

$θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

θ

$θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

θ = \arcsin (1)

$θ = \arcsin (1)$

Schritt 2.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.2.1

Der genau Wert von

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ ist

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 2.11.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

π

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

θ = π - \frac{π}{2}

$θ = π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.11.4

Vereinfache

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.4.1

π

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.11.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.4.2.1

Kombiniere

π

$π$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.11.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.11.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.4.3.1

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

π

$π$ .

θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 2.11.4.3.2

Subtrahiere

π

$π$ von

2 π

$2 π$ .

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 2.11.5

Ermittele die Periode von

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.11.5.2

Ersetze

b

$b$ durch

1

$1$ in der Formel für die Periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

1

$1$ ist

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.11.5.4

Dividiere

2 π

$2 π$ durch

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Schritt 2.11.6

Die Periode der Funktion

\sin (θ)

$\sin (θ)$ ist

2 π

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

2 π

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 2.12

Liste alle Lösungen auf.

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

Schritt 2.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl

n

$n$

θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl

n

$n$