Algebra Beispiele

$35 = 12 \cos (66 π x) + 40$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $12 \cos (66 π x) + 40 = 35$ um.

$12 \cos (66 π x) + 40 = 35$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (66 π x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 \cos (66 π x) = 35 - 40$

Schritt 2.2

Subtrahiere $40$ von $35$ .

$12 \cos (66 π x) = - 5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $12 \cos (66 π x) = - 5$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 \cos (66 π x) = - 5$ durch $12$ .

$\frac{12 \cos (66 π x)}{12} = \frac{- 5}{12}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cos (66 π x)}{12} = \frac{- 5}{12}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (66 π x)$ durch $1$ .

$\cos (66 π x) = \frac{- 5}{12}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (66 π x) = - \frac{5}{12}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$66 π x = \arccos (- \frac{5}{12})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arccos (- \frac{5}{12})$ .

$66 π x = 2.00057175$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $66 π x = 2.00057175$ durch $66 π$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $66 π x = 2.00057175$ durch $66 π$ .

$\frac{66 π x}{66 π} = \frac{2.00057175}{66 π}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $66$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{66 π x}{66 π} = \frac{2.00057175}{66 π}$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{2.00057175}{66 π}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{2.00057175}{66 π}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2.00057175}{66 π}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{2.00057175}{66 \cdot 3.14159265}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $66$ mit $3.14159265$ .

$x = \frac{2.00057175}{207.34511513}$

Schritt 6.3.3

Dividiere $2.00057175$ durch $207.34511513$ .

$x = 0.00964851$

Schritt 7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$66 π x = 2 (3.14159265) - 2.00057175$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$66 π x = 6.2831853 - 2.00057175$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $2.00057175$ von $6.2831853$ .

$66 π x = 4.28261354$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $66 π x = 4.28261354$ durch $66 π$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $66 π x = 4.28261354$ durch $66 π$ .

$\frac{66 π x}{66 π} = \frac{4.28261354}{66 π}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $66$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{66 π x}{66 π} = \frac{4.28261354}{66 π}$

Schritt 8.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{4.28261354}{66 π}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{4.28261354}{66 π}$

Schritt 8.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4.28261354}{66 π}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{4.28261354}{66 \cdot 3.14159265}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $66$ mit $3.14159265$ .

$x = \frac{4.28261354}{207.34511513}$

Schritt 8.2.3.3

Dividiere $4.28261354$ durch $207.34511513$ .

$x = 0.02065451$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (66 π x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $66 π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 66 π |}$

Schritt 9.3

$66 π$ ist ungefähr $207.34511513$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{66 π}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $66$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{66 π}$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $66 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{2 (33 π)}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 (33 π)}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{33 π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{33 π}$

Schritt 9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{33}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (66 π x)$ ist $\frac{1}{33}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{1}{33}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.00964851 + \frac{1 n}{33}, 0.02065451 + \frac{1 n}{33}$ , für jede Ganzzahl $n$