Algebra Beispiele

$x^{4} = 5 x^{3} - 9 x^{2}$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$5 x^{3} - 9 x^{2} = x^{4}$

Schritt 2

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{3} - 9 x^{2} - x^{4} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $5 x^{3} - 9 x^{2} - x^{4}$ heraus.

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Schritt 3.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.1.1

Bewege $- 9 x^{2}$ .

$5 x^{3} - x^{4} - 9 x^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Stelle $5 x^{3}$ und $- x^{4}$ um.

$- x^{4} + 5 x^{3} - 9 x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- x^{2} x^{2} + 5 x^{3} - 9 x^{2} = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (- 5 x) - 9 x^{2} = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$- x^{2} x^{2} - x^{2} (- 5 x) - x^{2} \cdot 9 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (x^{2}) - x^{2} (- 5 x)$ heraus.

$- x^{2} (x^{2} - 5 x) - x^{2} \cdot 9 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (x^{2} - 5 x) - x^{2} (9)$ heraus.

$- x^{2} (x^{2} - 5 x + 9) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 5 x + 9 = 0$

Schritt 5

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $x^{2} - 5 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} - 5 x + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 x + 9 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} - 5 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + i \sqrt{11}}{2}, \frac{5 - i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x^{2} (x^{2} - 5 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{5 + i \sqrt{11}}{2}, \frac{5 - i \sqrt{11}}{2}$