Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \div \frac{x + 6}{36 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $1$ ist.

$- 4, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 40 x + 96$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 40 x$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) + 4 (- 10 x) + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $96$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 10 x)$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x + 24)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 6, - 4$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 ((x - 6) (x - 4))} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{5^{2} - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{4 (x - 6)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{4 (x - 6)}$ mit $\frac{3}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((5 + x) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 5$ und $5 + x$ .

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Schritt 5.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x + 6}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6$ und $b = x$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x + 6}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + x$ und $x + 6$ .

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Schritt 7.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Schritt 7.1.3

Dividiere $6 - x$ durch $1$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} (6 - x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)}$ mit $6 - x$ .

$\frac{3 (6 - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - x$ und $x - 6$ .

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Schritt 7.3.1

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{3 (- 1 (- 6) - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (- 6) - (x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 6) - (x)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (- 6 + x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Schritt 7.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Schritt 7.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{4 (5 - x)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3}{4 (5 - x)}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4 (5 - x)}$