Algebra Beispiele

$- 3$ und $- \frac{2}{3}$

Schritt 1

$x = - 3$ und $x = - \frac{2}{3}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x + 3$ und $x + \frac{2}{3}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x + 3) (x + \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x + 3) (x + \frac{2}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + \frac{2}{3}) + 3 (x + \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (\frac{2}{3}) + 3 (x + \frac{2}{3}) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (\frac{2}{3}) + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (\frac{2}{3}) + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 2}{3} + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x}{3} + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + 3 x + 3 (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + 3 x + 2 = 0$

Schritt 3.2

Um $3 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + 3 x \cdot \frac{3}{3} + 2 = 0$

Schritt 3.3

Kombiniere $3 x$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Schritt 3.5

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Schritt 3.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 = 0$

Schritt 3.8

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} = 0$

Schritt 3.9

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 2 x + 3 x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} + 2 x + 3 x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 9 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 9 x + 6}{3} = 0$

Schritt 4.4

Addiere $2 x$ und $9 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 11 x + 6}{3} = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 6 = 18$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} + 11 (x) + 6}{3} = 0$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $11$ um als $2$ plus $9$

$\frac{3 x^{2} + (2 + 9) x + 6}{3} = 0$

Schritt 4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 9 x + 6}{3} = 0$

Schritt 4.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + 2 x) + 9 x + 6}{3} = 0$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (3 x + 2) + 3 (3 x + 2)}{3} = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (x + 3)}{3} = 0$

Schritt 5

Multipliziere $(3 x + 2) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x (x + 3) + 2 (x + 3)}{3} = 0$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{3} = 0$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 2 x + 2 \cdot 3}{3} = 0$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6}{3} = 0$

Schritt 6.2

Addiere $9 x$ und $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 11 x + 6}{3} = 0$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{3 x^{2} + 11 x + 6}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x^{2} + 11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{3 x^{2} + 11 x}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Schritt 9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{3} + \frac{6}{3} = 0$

Schritt 10

Dividiere $6$ durch $3$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{3} + 2 = 0$

Schritt 11

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${- 3, - \frac{2}{3}}$ ist $y = x^{2} + \frac{11 x}{3} + 2$ .

$y = x^{2} + \frac{11 x}{3} + 2$

Schritt 12