Algebra Beispiele

$\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - 5 x}}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - 5 x}$ als ${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - 5 x)}^{1} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$1 - 5 x = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ um.

$1 - 5 x = (1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 5 x = 1 (1 + \sqrt{6 - x}) + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - 5 x = 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{6 - x}$ mit $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{6 - x}$ mit $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{6 - x}$ mit $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} \sqrt{6 - x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{6 - x}$ mit $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} {\sqrt{6 - x}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{6 - x}}^{2}$ als $6 - x$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 - x}$ als ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + 6 - x$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $1$ und $6$ .

$1 - 5 x = 7 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} - x$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{6 - x}$ und $\sqrt{6 - x}$ .

$1 - 5 x = 7 + 2 \sqrt{6 - x} - x$

Schritt 3

Löse nach $2 \sqrt{6 - x}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$ um.

$7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{6 - x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x - 7$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{6 - x} = 1 - 5 x - 7 + x$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 5 x - 6 + x$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 5 x$ und $x$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 4 x - 6$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{6 - x})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 - x}$ als ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(6 - x)}^{1} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$4 (6 - x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 6 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$24 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$24 - 4 x = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(- 4 x - 6)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(- 4 x - 6)}^{2}$ als $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ um.

$24 - 4 x = (- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x - 6) - 6 (- 4 x - 6)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x - 6)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x - 6 \cdot - 6$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x + 36$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $24 x$ und $24 x$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 48 x + 36$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 x^{2} + 48 x + 36 = 24 - 4 x$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} + 48 x + 36 + 4 x = 24$

Schritt 6.2.2

Addiere $48 x$ und $4 x$ .

$16 x^{2} + 52 x + 36 = 24$

Schritt 6.3

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} + 52 x + 36 - 24 = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$16 x^{2} + 52 x + 12 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2} + 52 x + 12$ heraus.

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Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 52 x + 12 = 0$

Schritt 6.5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $52 x$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 12 = 0$

Schritt 6.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 4 (3) = 0$

Schritt 6.5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2}) + 4 (13 x)$ heraus.

$4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3) = 0$

Schritt 6.5.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3)$ heraus.

$4 (4 x^{2} + 13 x + 3) = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 6.5.2.1.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 x$ heraus.

$4 (4 x^{2} + 13 (x) + 3) = 0$

Schritt 6.5.2.1.1.2

Schreibe $13$ um als $1$ plus $12$

$4 (4 x^{2} + (1 + 12) x + 3) = 0$

Schritt 6.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (4 x^{2} + 1 x + 12 x + 3) = 0$

Schritt 6.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 (4 x^{2} + x + 12 x + 3) = 0$

Schritt 6.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 ((4 x^{2} + x) + 12 x + 3) = 0$

Schritt 6.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 (x (4 x + 1) + 3 (4 x + 1)) = 0$

Schritt 6.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$4 ((4 x + 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 6.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 6.7

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 6.7.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 6.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 6.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 6.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 6.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 6.8

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, - 3$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$ nicht erfüllen.

$x = - 3$