Algebra Beispiele

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) - 12 x^{2} - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot - 12 - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x)$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot - 12 - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot - 12$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 4 x - 12) - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x^{2} ((x - 6) (x + 2)) - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} + 4 (x) + 12$

Schritt 4.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} + (- 2 + 6) x + 12$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) - x^{2} - 2 x + 6 x + 12$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) + (- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 6) (x + 2) + x (- x - 2) - 6 (- x - 2)$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 2$ .

$x^{2} (x - 6) (x + 2) + (- x - 2) (x - 6)$

Schritt 5

Faktorisiere $x - 6$ aus $x^{2} (x - 6) (x + 2) + (- x - 2) (x - 6)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x - 6$ aus $x^{2} (x - 6) (x + 2)$ heraus.

$(x - 6) (x^{2} (x + 2)) + (- x - 2) (x - 6)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x - 6$ aus $(- x - 2) (x - 6)$ heraus.

$(x - 6) (x^{2} (x + 2)) + (x - 6) (- x - 2)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x - 6$ aus $(x - 6) (x^{2} (x + 2)) + (x - 6) (- x - 2)$ heraus.

$(x - 6) (x^{2} (x + 2) - x - 2)$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 6) (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Schritt 7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 6) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Schritt 7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 6) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Schritt 7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x - 6) (x^{3} + x^{2} \cdot 2 - x - 2)$

Schritt 8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x - 6) (x^{3} + 2 x^{2} - x - 2)$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Schreibe $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 9.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 6) ((x^{3} + 2 x^{2}) - x - 2)$

Schritt 9.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 6) (x^{2} (x + 2) - (x + 2))$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x - 6) ((x + 2) (x^{2} - 1))$

Schritt 9.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x - 6) ((x + 2) (x^{2} - 1^{2}))$

Schritt 9.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 9.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 6) ((x + 2) ((x + 1) (x - 1)))$

Schritt 9.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 6) ((x + 2) (x + 1) (x - 1))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 6) (x + 2) (x + 1) (x - 1)$