Algebra Beispiele

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \geq 9$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \geq 9^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ als ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 9^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \geq 9^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 9^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 81$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

Schritt 3.2

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $81$ von $9$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 12 x - 72$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 72$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ heraus.

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ heraus.

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 3.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 3$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \geq 9$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \geq 9$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $3$ ist kleiner als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \geq 9$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $13$ ist größer als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 6$

Schritt 7

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Schritt 8