Algebra Beispiele

$3^{\log_{3} (x^{3})} = \frac{1}{27}$

Schritt 1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{1}{27}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{27}$ als ${(\frac{1}{3})}^{3}$ um.

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Schritt 3.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Schritt 3.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 5

Setze $x - \frac{1}{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - \frac{1}{3}$ gleich $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Schritt 5.2

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Setze $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ gleich $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $9$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 6.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.3

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$