Algebra Beispiele

$\sqrt{x + 10} - 1 = x$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 10} = x + 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 10}}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 10}$ als ${(x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 10)}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 10 = {(x + 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$x + 10 = (x + 1) (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 10 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 10 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 10 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 10 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + 10 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + 10 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x + 10 = x^{2} + x + x + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x + 10 = x^{2} + 2 x + 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x + 1 = x + 10$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 1 - x = 10$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x^{2} + x + 1 = 10$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x + 1 - 10 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$x^{2} + x - 9 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.3

Addiere $1$ und $36$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{37}}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{37}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 10} - 1 = x$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$

Dezimalform:

$x = 2.54138126 \dots$