Algebra Beispiele

$\sqrt{8 (x - k)} = x - k$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8 (x - k)}}^{2} = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 (x - k)}$ als ${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 (x - k))}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(8 x + 8 (- k))}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

${(8 x - 8 k)}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinfache.

$8 x - 8 k = {(x - k)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(x - k)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(x - k)}^{2}$ als $(x - k) (x - k)$ um.

$8 x - 8 k = (x - k) (x - k)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(x - k) (x - k)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x - 8 k = x (x - k) - k (x - k)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x - 8 k = x \cdot x + x (- k) - k (x - k)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x - 8 k = x \cdot x + x (- k) - k x - k (- k)$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} + x (- k) - k x - k (- k)$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - k (- k)$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 k \cdot k$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Bewege $k$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 (k \cdot k)$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 k^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x + 1 k^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $1$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x + k^{2}$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $k x$ von $- x k$ .

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Schritt 2.3.1.3.2.1

Bewege $x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - k x - k x + k^{2}$

Schritt 2.3.1.3.2.2

Subtrahiere $k x$ von $- k x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - 2 k x + k^{2}$

Schritt 3

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 3.1

Da $k$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} = 8 x - 8 k$

Schritt 3.2

Addiere $8 k$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} + 8 k = 8 x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} + 8 k - 8 x = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 x + 8$ und $c = x^{2} - 8 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $k$ auf.

$\frac{- (- 2 x + 8) \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$k = \frac{2 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Füge Klammern hinzu.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ .

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Schritt 3.6.1.5.1

Schreibe ${(- 2 x + 8)}^{2}$ als $(- 2 x + 8) (- 2 x + 8)$ um.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{(- 2 x + 8) (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.2

Multipliziere $(- 2 x + 8) (- 2 x + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x + 8) + 8 (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x - 16 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x - 16 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5.3.2

Subtrahiere $16 x$ von $- 16 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 32 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 32 x$ heraus.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- 8 x)$ heraus.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 8 x) + 4 (16)$ heraus.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 8 x + 16) + 4 (- u)$ heraus.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - (1 \cdot (x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.8.1.1

Mutltipliziere $x^{2} - 8 x$ mit $1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} - (- 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} + 8 x$ .

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Schritt 3.6.1.8.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 x + 16 + 0 + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.2.2

Addiere $- 8 x + 16$ und $0$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 x + 16 + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.2.3

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (0 + 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.8.2.4

Addiere $0$ und $16$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.10

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$k = \frac{2 x - 8 \pm 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm 8}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$k = x$

$k = x - 8$

$k = x$

$k = x - 8$