Algebra Beispiele

${(3 x - 8)}^{2} = 3 x^{2} - 8 x$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} - 8 x = {(3 x - 8)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(3 x - 8)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${(3 x - 8)}^{2}$ als $(3 x - 8) (3 x - 8)$ um.

$3 x^{2} - 8 x = (3 x - 8) (3 x - 8)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(3 x - 8) (3 x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 8 x = 3 x (3 x - 8) - 8 (3 x - 8)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 8 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 8 - 8 (3 x - 8)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 8 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 8 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} - 8 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 8 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 8 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 8 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 8 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 8 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 x^{2} - 8 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 8 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$3 x^{2} - 8 x = 9 x^{2} - 24 x - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$3 x^{2} - 8 x = 9 x^{2} - 24 x - 24 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$3 x^{2} - 8 x = 9 x^{2} - 24 x - 24 x + 64$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $24 x$ von $- 24 x$ .

$3 x^{2} - 8 x = 9 x^{2} - 48 x + 64$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 8 x - 9 x^{2} = - 48 x + 64$

Schritt 3.2

Addiere $48 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 8 x - 9 x^{2} + 48 x = 64$

Schritt 3.3

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 8 x + 48 x = 64$

Schritt 3.4

Addiere $- 8 x$ und $48 x$ .

$- 6 x^{2} + 40 x = 64$

Schritt 4

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{2} + 40 x - 64 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 x^{2} + 40 x - 64$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$- 2 (3 x^{2}) + 40 x - 64 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $40 x$ heraus.

$- 2 (3 x^{2}) - 2 (- 20 x) - 64 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 64$ heraus.

$- 2 (3 x^{2}) - 2 (- 20 x) - 2 \cdot 32 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (3 x^{2}) - 2 (- 20 x)$ heraus.

$- 2 (3 x^{2} - 20 x) - 2 \cdot 32 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (3 x^{2} - 20 x) - 2 (32)$ heraus.

$- 2 (3 x^{2} - 20 x + 32) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 32 = 96$ und deren Summe gleich $b = - 20$ ist.

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 20$ aus $- 20 x$ heraus.

$- 2 (3 x^{2} - 20 x + 32) = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $- 20$ um als $- 8$ plus $- 12$

$- 2 (3 x^{2} + (- 8 - 12) x + 32) = 0$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (3 x^{2} - 8 x - 12 x + 32) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 2 ((3 x^{2} - 8 x) - 12 x + 32) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 2 (x (3 x - 8) - 4 (3 x - 8)) = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 8$ .

$- 2 ((3 x - 8) (x - 4)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (3 x - 8) (x - 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 7

Setze $3 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $3 x - 8$ gleich $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Schritt 7.2

Löse $3 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Schritt 8

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (3 x - 8) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{8}{3}, 4$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{8}{3}, 4$

Dezimalform:

$x = 2.\overline{6}, 4$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{2}{3}, 4$