Algebra Beispiele

$p (x) = (x + 2) (2 x^{2} + 3 x - 9)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (x + 2) (2 x^{2} + 3 x - 9)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(x + 2) (2 x^{2} + 3 x - 9) = 0$ um.

$(x + 2) (2 x^{2} + 3 x - 9) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 9 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x^{2} + 3 x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $2 x^{2} + 3 x - 9$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $2 x^{2} + 3 x - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$2 x^{2} + 3 (x) - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 3$ plus $6$

$2 x^{2} + (- 3 + 6) x - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 3 x) + 6 x - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 3) + 3 (2 x - 3) = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 3) = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, - 3$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (2 x^{2} + 3 x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, \frac{3}{2}, - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (\frac{3}{2}, 0), (- 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = ((0) + 2) (2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 9)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 2) (2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 9)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0 + 2) (2 \cdot 0^{2} + 3 (0) - 9)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = ((0) + 2) (2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 9)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $((0) + 2) (2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 9)$ .

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 2 (2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 9)$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 (2 \cdot 0 + 3 (0) - 9)$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 2 (0 + 3 (0) - 9)$

Schritt 2.2.4.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 2 (0 + 0 - 9)$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 2 (0 - 9)$

Schritt 2.2.4.3.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$y = 2 \cdot - 9$

Schritt 2.2.4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$y = - 18$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 18)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2, 0), (\frac{3}{2}, 0), (- 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 18)$

Schritt 4