Algebra Beispiele

$\tan (\frac{θ}{2}) = \sqrt{3}$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{θ}{2} = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{θ}{2} = \frac{π}{3}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = 2 \frac{π}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{θ}{2} = π + \frac{π}{3}$

Schritt 6

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = 2 (π + \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $2 (π + \frac{π}{3})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = 2 \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = 2 \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$θ = 2 \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4

Multipliziere $2 \frac{4 π}{3}$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{θ}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{θ}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$