Algebra Beispiele

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}} = - 1$

Schritt 2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x^{2} + 2 x + 6 = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 6 - 1 = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$