Algebra Beispiele

$y = 6 - x^{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 6 - y^{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $6 - y^{3} = x$ um.

$6 - y^{3} = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} = x - 6$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = x - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = x - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$y^{3} = - x + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$y^{3} = - x + 6$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- x + 6}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 6}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 - x^{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 - x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 - x^{3}) = \sqrt[3]{- (6 - x^{3}) + 6}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 6 + x^{3} + 6}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f^{- 1} (6 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 6 + x^{3} + 6}$

Schritt 4.2.5

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (6 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 4.2.6

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 4.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (6 - x^{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{- x + 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 - {(\sqrt[3]{- x + 6})}^{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{- x + 6}}^{3}$ als $- x + 6$ um.

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Schritt 4.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- x + 6}$ als ${(- x + 6)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 - {({(- x + 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 4.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 - {(- x + 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 4.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 - {(- x + 6)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 - {(- x + 6)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 4.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 - (- x + 6)$

Schritt 4.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 - (- x + 6)$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 + x - 1 \cdot 6$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 + 1 x - 1 \cdot 6$

Schritt 4.3.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 + x - 1 \cdot 6$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = 6 + x - 6$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 + x - 6$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 6}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 - x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 6}$