Algebra Beispiele

$(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x) = 1008$

Schritt 1

Vereinfache $(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x)$ .

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Schritt 1.1

Multipliziere $(30 - 2 x) (20 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(30 (20 - 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Mutltipliziere $30$ mit $20$ .

$(600 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $30$ .

$(600 - 60 x - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x = 1008$

Schritt 1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x = 1008$

Schritt 1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x = 1008$

Schritt 1.2.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $40 x$ von $- 60 x$ .

$(600 - 100 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$600 x - 100 x \cdot x + 4 x^{2} x = 1008$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.1

Bewege $x$ .

$600 x - 100 (x \cdot x) + 4 x^{2} x = 1008$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{2} x = 1008$

Schritt 1.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.1

Bewege $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) = 1008$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x^{1} x^{2}) = 1008$

Schritt 1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{1 + 2} = 1008$

Schritt 1.4.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} = 1008$

Schritt 2

Subtrahiere $1008$ von beiden Seiten der Gleichung.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $600 x$ heraus.

$4 (150 x) - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 100 x^{2}$ heraus.

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 (x^{3}) - 1008 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 1008$ heraus.

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2})$ heraus.

$4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3}$ heraus.

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252 = 0$

Schritt 3.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252$ heraus.

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3} - 252) = 0$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$4 (x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

$q = \pm 1$

Schritt 3.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

Schritt 3.3.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.3.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Schritt 3.3.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Schritt 3.3.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 25 \cdot 9 + 150 \cdot 3 - 252$

Schritt 3.3.1.3.4

Mutltipliziere $- 25$ mit $9$ .

$27 - 225 + 150 \cdot 3 - 252$

Schritt 3.3.1.3.5

Subtrahiere $225$ von $27$ .

$- 198 + 150 \cdot 3 - 252$

Schritt 3.3.1.3.6

Mutltipliziere $150$ mit $3$ .

$- 198 + 450 - 252$

Schritt 3.3.1.3.7

Addiere $- 198$ und $450$ .

$252 - 252$

Schritt 3.3.1.3.8

Subtrahiere $252$ von $252$ .

$0$

Schritt 3.3.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252}{x - 3}$

Schritt 3.3.1.5

Dividiere $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ durch $x - 3$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$252$

Schritt 3.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$

Schritt 3.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 3.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 3.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$

Schritt 3.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Schritt 3.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 22 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Schritt 3.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$66 x$

Schritt 3.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 22 x^{2} + 66 x$

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$

Schritt 3.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$

Schritt 3.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Schritt 3.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $84 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Schritt 3.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							+	$84 x$	-	$252$

Schritt 3.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $84 x - 252$

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$

Schritt 3.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$
										$0$

Schritt 3.3.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 22 x + 84$

Schritt 3.3.1.6

Schreibe $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 3) (x^{2} - 22 x + 84)) = 0$

Schritt 3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Setze $x^{2} - 22 x + 84$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} - 22 x + 84$ gleich $0$ .

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} - 22 x + 84 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 22$ und $c = 84$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 84)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 22$ mit $2$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 84$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $84$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 336}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $336$ von $484$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $148$ als $2^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 6.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $148$ heraus.

$x = \frac{22 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{22 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = 11 \pm \sqrt{37}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Dezimalform:

$x = 3, 17.08276253 \dots, 4.91723746 \dots$