Algebra Beispiele

$\frac{9 x^{3} + 81 x^{2} + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \div \frac{x^{2} + 9 x + 14}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{9 x^{3} + 81 x^{2} + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{3} + 81 x^{2} + 126 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{9 x (x^{2}) + 81 x^{2} + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9 x$ aus $81 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (9 x) + 126 x}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9 x$ aus $126 x$ heraus.

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (9 x) + 9 x (14)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (x^{2}) + 9 x (9 x)$ heraus.

$\frac{9 x (x^{2} + 9 x) + 9 x (14)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (x^{2} + 9 x) + 9 x (14)$ heraus.

$\frac{9 x (x^{2} + 9 x + 14)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $9$ ist.

$2, 7$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{9 x ((x + 2) (x + 7))}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x^{2} + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2} + 12 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x) + 12 x} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x) + 6 x (2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x) + 6 x (2)$ heraus.

$\frac{9 x (x + 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x + 2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x (x + 2)$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3 x (x + 2)$ aus $9 x (x + 2) (x + 7)$ heraus.

$\frac{3 x (x + 2) ((3) (x + 7))}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{6 x (x + 2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $3 x (x + 2)$ aus $6 x (x + 2)$ heraus.

$\frac{3 x (x + 2) ((3) (x + 7))}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{3 x (x + 2) (2)} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x (x + 2) ((3) (x + 7))}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{3 x (x + 2) \cdot 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{4}{2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{(3) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{4}{2}$ .

$\frac{(3) (x + 7) \cdot 4}{(x + 2) (x - 2) \cdot 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) \cdot 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $12 (x + 7)$ heraus.

$\frac{2 (6 (x + 7))}{(x + 2) (x - 2) \cdot 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(x + 2) (x - 2) \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (6 (x + 7))}{2 \cdot ((x + 2) (x - 2))} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 (x + 7))}{2 \cdot ((x + 2) (x - 2))} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 9 x + 14}$

Schritt 6

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $9$ ist.

$2, 7$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 (x + 7)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $6 (x + 7)$ heraus.

$\frac{(x + 7) \cdot 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x + 7)}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x + 7$ aus $(x + 2) (x + 7)$ heraus.

$\frac{(x + 7) \cdot 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 7) (x + 2)}$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) \cdot 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 7) (x + 2)}$

Schritt 7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 2) (x - 2)$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{1}{x + 2}$

Schritt 7.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{6}{x + 2}$