Algebra Beispiele

$f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ als Gleichung.

$y = 4 \sin (2 x + 5) - 7$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 \sin (2 y + 5) - 7$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$ um.

$4 \sin (2 y + 5) - 7 = x$

Schritt 3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (2 y + 5) = x + 7$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (2 y + 5) = x + 7$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (2 y + 5)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\sin (2 y + 5)$ durch $1$ .

$\sin (2 y + 5) = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Schritt 3.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 y + 5 = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})$

Schritt 3.5

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4}) - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 \sin (2 x + 5) - 7 + 7$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5) + 0}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $4 \sin (2 x + 5)$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\frac{4 \sin (2 x + 5)}{4})}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $\sin (2 x + 5)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 \sin (2 x + 5) - 7) = \frac{\arcsin (\sin (2 x + 5))}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) + 5) - 7$

Schritt 5.3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (2 (\frac{\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5}{2}) + 5) - 7$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5) - 7$

Schritt 5.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arcsin (\frac{x + 7}{4}) - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4}) + 0) - 7$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere $\arcsin (\frac{x + 7}{4})$ und $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 7}{4})) - 7$

Schritt 5.3.3.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x + 7}{4}) - 7$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 7 - 7$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 7 - 7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 \sin (2 x + 5) - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{4} + \frac{7}{4})}{2} - \frac{5}{2}$