Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{7 x + 2}{3} + 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{7 x + 2}{3} + 5$ als Gleichung.

$y = \frac{7 x + 2}{3} + 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{7 y + 2}{3} + 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{7 y + 2}{3} + 5 = x$ um.

$\frac{7 y + 2}{3} + 5 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache $\frac{7 y + 2}{3} + 5$ .

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Schritt 3.2.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 y + 2}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3} = x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 y + 2}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3} = x$

Schritt 3.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 y + 2 + 5 \cdot 3}{3} = x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{7 y + 2 + 15}{3} = x$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $2$ und $15$ .

$\frac{7 y + 17}{3} = x$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{7 y + 17}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y + 17}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 y + 17 = x \cdot 3$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$7 y + 17 = 3 x$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y = 3 x - 17$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $7 y = 3 x - 17$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y = 3 x - 17$ durch $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{3 x}{7} + \frac{- 17}{7}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y}{7} = \frac{3 x}{7} + \frac{- 17}{7}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 17}{7}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{7 x + 2}{3} + 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 2}{3} + 5)}{7} - \frac{17}{7}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 2}{3} + 5) - 17}{7}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 2}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}) - 17}{7}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 2}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}) - 17}{7}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 2 + 5 \cdot 3}{3}) - 17}{7}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 2 + 15}{3}) - 17}{7}$

Schritt 5.2.4.4.2

Addiere $2$ und $15$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 17}{3}) - 17}{7}$

Schritt 5.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{3 (\frac{7 x + 17}{3}) - 17}{7}$

Schritt 5.2.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{7 x + 17 - 17}{7}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 x + 17 - 17$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Subtrahiere $17$ von $17$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{7 x + 2}{3} + 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{7 (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) + 2}{3} + 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{7 (\frac{3 x}{7}) + 7 (- \frac{17}{7}) + 2}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{7 (\frac{3 x}{7}) + 7 (- \frac{17}{7}) + 2}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 x + 7 (- \frac{17}{7}) + 2}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17}{7}$ in den Zähler.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 x + 7 (\frac{- 17}{7}) + 2}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 x + 7 (\frac{- 17}{7}) + 2}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 x - 17 + 2}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.4

Addiere $- 17$ und $2$ .

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 x - 15}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 15$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 (x) - 15}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 5}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 5$ heraus.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 (x - 5)}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = \frac{3 (x - 5)}{3} + 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{7 x + 2}{3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{7} - \frac{17}{7}$