Algebra Beispiele

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y - 1 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 y^{2} - 108 y$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 108$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 108}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 108$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 108$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 (9)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 54}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 54$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$d = - 6$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 108)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 108$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{11664}{36}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $11664$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 324$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $324$ .

$e = 0 - 324$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $324$ von $0$ .

$e = - 324$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ ein.

$9 {(y - 6)}^{2} - 324$

Schritt 1.3

Setze $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ für $9 y^{2} - 108 y$ ein in der Gleichung $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 324 - 25 x^{2} - 100 x = 1$

Schritt 1.4

Bringe $- 324$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $324$ auf beiden Seiten.

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 x^{2} - 100 x = 1 + 324$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 25 x^{2} - 100 x$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 100$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 100$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $- 25$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 50$ heraus.

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25$ heraus.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $10000$ durch $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $100$ .

$e = 100$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ ein.

$- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$

Schritt 1.6

Setze $- 25 {(x + 2)}^{2} + 100$ für $- 25 x^{2} - 100 x$ ein in der Gleichung $9 y^{2} - 25 x^{2} - 100 x - 108 y = 1$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} + 100 = 1 + 324$

Schritt 1.7

Bringe $100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 1 + 324 - 100$

Schritt 1.8

Vereinfache $1 + 324 - 100$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $1$ und $324$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 325 - 100$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $100$ von $325$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 25 {(x + 2)}^{2} = 225$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $225$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(y - 6)}^{2}}{225} - \frac{25 {(x + 2)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{25} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 6$

$h = - 2$

Schritt 4

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 4.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 4.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 11)$

Schritt 4.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 4.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, 1)$

Schritt 4.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(- 2, 11), (- 2, 1)$

Schritt 5