Algebra Beispiele

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ $x + y - 1 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 1 = - y$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

Schritt 1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - y + 1$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- y + 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ durch $- y + 1$ .

${((- y + 1) - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${((- y + 1) - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

${(- y - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe ${(- y - 1)}^{2}$ als $(- y - 1) (- y - 1)$ um.

$(- y - 1) (- y - 1) + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $(- y - 1) (- y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.4.1.2.1

Bewege $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.5

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.6

Multipliziere $- 1 (- y)$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + y + y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $y$ und $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + {(y - 3)}^{2} = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$y^{2} + 2 y + 1 + (y - 3) (y - 3) = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.6

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 2 y + 1 + y (y - 3) - 3 (y - 3) = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 2 y + 1 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3) = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 2 y + 1 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.7.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.7.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.1.7.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

$y^{2} + 2 y + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 2 y + 1 - 6 y + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $6 y$ von $2 y$ .

$2 y^{2} - 4 y + 1 + 9 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 2.2.1.2.3

Addiere $1$ und $9$ .

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

$2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$

$x = - y + 1$

Schritt 3

Löse in $2 y^{2} - 4 y + 10 = 16$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} - 4 y + 10 - 16 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.2

Subtrahiere $16$ von $10$ .

$2 y^{2} - 4 y - 6 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2} - 4 y - 6$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$2 (y^{2}) - 4 y - 6 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y$ heraus.

$2 (y^{2}) + 2 (- 2 y) - 6 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 3 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2} + 2 (- 2 y)$ heraus.

$2 (y^{2} - 2 y) + 2 \cdot - 3 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (y^{2} - 2 y) + 2 \cdot - 3$ heraus.

$2 (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

$x = - y + 1$

$2 (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y^{2} - 2 y - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((y - 3) (y + 1)) = 0$

$x = - y + 1$

$2 ((y - 3) (y + 1)) = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (y - 3) (y + 1) = 0$

$x = - y + 1$

$2 (y - 3) (y + 1) = 0$

$x = - y + 1$

$2 (y - 3) (y + 1) = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.5

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

$x = - y + 1$

$y = 3$

$x = - y + 1$

Schritt 3.6

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = - y + 1$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

$x = - y + 1$

$y = - 1$

$x = - y + 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (y - 3) (y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = 3, - 1$

$x = - y + 1$

$y = 3, - 1$

$x = - y + 1$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - y + 1$ durch $3$ .

$x = - (3) + 1$

$y = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- (3) + 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 3 + 1$

$y = 3$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$x = - 2$

$y = 3$

$x = - 2$

$y = 3$

$x = - 2$

$y = 3$

$x = - 2$

$y = 3$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = - y + 1$ durch $- 1$ .

$x = - (- 1) + 1$

$y = - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- (- 1) + 1$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 + 1$

$y = - 1$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 2, 3)$

$(2, - 1)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 2, 3), (2, - 1)$

Gleichungsform:

$x = - 2, y = 3$

$x = 2, y = - 1$

Schritt 8