Algebra Beispiele

${(6 x^{2} + 7 x)}^{2} - 4 (6 x^{2} + 7 x) - 5$

Schritt 1

Es sei $u = 6 x^{2} + 7 x$ . Ersetze $u$ für alle $6 x^{2} + 7 x$ .

$u^{2} - 4 u - 5$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 4 u - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u + 1)$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{2} + 7 x$ .

$(6 x^{2} + 7 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$(6 x^{2} + 7 (x) - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Schritt 4.1.2

Schreibe $7$ um als $- 3$ plus $10$

$(6 x^{2} + (- 3 + 10) x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x^{2} - 3 x + 10 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$((6 x^{2} - 3 x) + 10 x - 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(3 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 7 x + 1)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 7 (x) + 1)$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $7$ um als $1$ plus $6$

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + (1 + 6) x + 1)$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + 1 x + 6 x + 1)$

Schritt 5.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x^{2} + x + 6 x + 1)$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x - 1) (3 x + 5) ((6 x^{2} + x) + 6 x + 1)$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (x (6 x + 1) + 1 (6 x + 1))$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x + 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 5) ((6 x + 1) (x + 1))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (3 x + 5) (6 x + 1) (x + 1)$