Algebra Beispiele

$x^{13} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{10}$ aus $x^{13} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{10}$ aus $x^{13}$ heraus.

$x^{10} x^{3} - 2 x^{12} - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{10}$ aus $- 2 x^{12}$ heraus.

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) - x^{11} + 2 x^{10} = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{10}$ aus $- x^{11}$ heraus.

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + 2 x^{10} = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x^{10}$ aus $2 x^{10}$ heraus.

$x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x^{10}$ aus $x^{10} x^{3} + x^{10} (- 2 x^{2})$ heraus.

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2}) + x^{10} (- x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $x^{10}$ aus $x^{10} (x^{3} - 2 x^{2}) + x^{10} (- x)$ heraus.

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x) + x^{10} \cdot 2 = 0$

Schritt 1.1.7

Faktorisiere $x^{10}$ aus $x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x) + x^{10} \cdot 2$ heraus.

$x^{10} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{10} ((x^{3} - 2 x^{2}) - x + 2) = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{10} (x^{2} (x - 2) - (x - 2)) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$x^{10} ((x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{10} ((x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{10} ((x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 1.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{10} ((x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{10} (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{10} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{10}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x^{10}$ gleich $0$ .

$x^{10} = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{10} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[10]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[10]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{10}$ um.

$x = \pm \sqrt[10]{0^{10}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{10} (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 1, 1$