Algebra Beispiele

${(x^{2} + y^{2} - 8 x)}^{2} = 64 x^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

${(x^{2} + {(0)}^{2} - 8 x)}^{2} = 64 x^{2} + 64 {(0)}^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache ${(x^{2} + {(0)}^{2} - 8 x)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(x^{2} + 0 - 8 x)}^{2} = 64 x^{2} + 64 {(0)}^{2}$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

${(x^{2} - 8 x)}^{2} = 64 x^{2} + 64 {(0)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $64 x^{2} + 64 {(0)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(x^{2} - 8 x)}^{2} = 64 x^{2} + 64 \cdot 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $64$ mit $0$ .

${(x^{2} - 8 x)}^{2} = 64 x^{2} + 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $64 x^{2}$ und $0$ .

${(x^{2} - 8 x)}^{2} = 64 x^{2}$

Schritt 1.2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $64 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} - 8 x)}^{2} - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1

Schreibe ${(x^{2} - 8 x)}^{2}$ als $(x^{2} - 8 x) (x^{2} - 8 x)$ um.

$(x^{2} - 8 x) (x^{2} - 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere $(x^{2} - 8 x) (x^{2} - 8 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x^{2} - 8 x) - 8 x (x^{2} - 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) - 8 x (x^{2} - 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x) - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 8 x) - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 8 x^{2} x - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} - 8 (x^{1} x^{2}) - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} - 8 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.3.1.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 (x^{2} x) - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 (x^{2} x^{1}) - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2 + 1} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x (- 8 x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 \cdot - 8 x \cdot x - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 \cdot - 8 (x \cdot x) - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 \cdot - 8 x^{2} - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.1.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $- 8 x^{3}$ .

$x^{4} - 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{4} - 16 x^{3} + 64 x^{2} - 64 x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.3.1

Subtrahiere $64 x^{2}$ von $64 x^{2}$ .

$x^{4} - 16 x^{3} + 0 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Addiere $x^{4} - 16 x^{3}$ und $0$ .

$x^{4} - 16 x^{3} = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} - 16 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{3} x - 16 x^{3} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 16 = 0$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} \cdot - 16$ heraus.

$x^{3} (x - 16) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 16 = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Setze $x - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x - 16$ gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (x - 16) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 16$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (16, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${({(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0)}^{2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + {({(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0)}^{2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

${({(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0)}^{2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 + y^{2} - 8 \cdot 0)}^{2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

${(0 + y^{2} + 0)}^{2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + y^{2} + 0$ .

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Addiere $0$ und $y^{2}$ .

${(y^{2} + 0)}^{2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

${(y^{2})}^{2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.1.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2 \cdot 2} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{4} = 64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $64 {(0)}^{2} + 64 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y^{4} = 64 \cdot 0 + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $64$ mit $0$ .

$y^{4} = 0 + 64 y^{2}$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $64 y^{2}$ .

$y^{4} = 64 y^{2}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $64 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} - 64 y^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

${(y^{2})}^{2} - 64 y^{2} = 0$

Schritt 2.2.4.2

Es sei $u = y^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $y^{2}$ .

$u^{2} - 64 u = 0$

Schritt 2.2.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 64 u$ heraus.

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Schritt 2.2.4.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 64 u = 0$

Schritt 2.2.4.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 64 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 64 = 0$

Schritt 2.2.4.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 64$ heraus.

$u (u - 64) = 0$

Schritt 2.2.4.4

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$y^{2} (y^{2} - 64) = 0$

Schritt 2.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y^{2} = 0$

$y^{2} - 64 = 0$

Schritt 2.2.6

Setze $y^{2}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $y^{2}$ gleich $0$ .

$y^{2} = 0$

Schritt 2.2.6.2

Löse $y^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

Schritt 2.2.6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.2.7

Setze $y^{2} - 64$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.7.1

Setze $y^{2} - 64$ gleich $0$ .

$y^{2} - 64 = 0$

Schritt 2.2.7.2

Löse $y^{2} - 64 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.7.2.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 64$

Schritt 2.2.7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64}$

Schritt 2.2.7.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 2.2.7.2.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 2.2.7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 8$

Schritt 2.2.7.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.7.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 8$

Schritt 2.2.7.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 8$

Schritt 2.2.7.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 8, - 8$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y^{2} (y^{2} - 64) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 8, - 8$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0), (0, 8), (0, - 8)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (16, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0), (0, 8), (0, - 8)$

Schritt 4