Algebra Beispiele

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 (t^{2} - 9) = - 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} + 16 \cdot - 9 = - 5$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 9$ .

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 = - 5$

Schritt 1.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache $3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5$ .

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe ${(t^{2} - 9)}^{2}$ als $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ um.

$3 ((t^{2} - 9) (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (t^{2} (t^{2} - 9) - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.3.1.1

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$3 (t^{4} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.3.1.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 9 \cdot t^{2} - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$3 (t^{4} - 9 t^{2} - 9 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.3.2

Subtrahiere $9 t^{2}$ von $- 9 t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 18 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 t^{4} + 3 (- 18 t^{2}) + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 243 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $- 54 t^{2}$ und $16 t^{2}$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 243 - 144 + 5 = 0$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $144$ von $243$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 99 + 5 = 0$

Schritt 1.3.4

Addiere $99$ und $5$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$

Schritt 2

Setze $u = t^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

$u = t^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 104 = 312$ und deren Summe gleich $b = - 38$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 38$ aus $- 38 u$ heraus.

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 38$ um als $- 12$ plus $- 26$

$3 u^{2} + (- 12 - 26) u + 104 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} - 12 u - 26 u + 104 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} - 12 u) - 26 u + 104 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (u - 4) - 26 (u - 4) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 4$ .

$(u - 4) (3 u - 26) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$3 u - 26 = 0$

Schritt 5

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 6

Setze $3 u - 26$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 u - 26$ gleich $0$ .

$3 u - 26 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 u - 26 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $26$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = 26$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 26$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 26$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{26}{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 4) (3 u - 26) = 0$ wahr machen.

$u = 4, \frac{26}{3}$

Schritt 8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = t^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$t^{2} = 4$

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Schritt 9

Löse die erste Gleichung nach $t$ auf.

$t^{2} = 4$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{4}$

Schritt 10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 10.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 10.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$t = \pm 2$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = 2$

Schritt 10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - 2$

Schritt 10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = 2, - 2$

Schritt 11

Löse die zweite Gleichung nach $t$ auf.

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$t^{2} = \frac{26}{3}$

Schritt 12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{\frac{26}{3}}$

Schritt 12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{26}{3}}$ .

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Schritt 12.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{26}{3}}$ als $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ um.

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 12.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 12.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 12.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 12.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 12.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 12.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 12.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 12.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$t = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 3}}{3}$

Schritt 12.3.4.2

Mutltipliziere $26$ mit $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{78}}{3}$

Schritt 12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}$

Schritt 12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Schritt 12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Schritt 13

Die Lösung von $3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$ ist $t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$ .

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Dezimalform:

$t = 2, - 2, 2.94392028 \dots, - 2.94392028 \dots$