Algebra Beispiele

$f (x) = (6 x + 1) (x^{2} + 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (6 x + 1) (x^{2} + 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(6 x + 1) (x^{2} + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ um.

$(6 x + 1) (x^{2} + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $6 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $6 x + 1$ gleich $0$ .

$6 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $6 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 1$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{6}$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 1.2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 1.2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 1.2.5

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(6 x + 1) (x^{2} + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{6}, i, - i, - 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{6}, 0), (- 1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = (6 (0) + 1) ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (6 (0) + 1) (0^{2} + 1) {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (6 (0) + 1) (0^{2} + 1) {(0 + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = (6 (0) + 1) ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $(6 (0) + 1) ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$y = (0 + 1) ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1 ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere ${(0)}^{2} + 1$ mit $1$ .

$y = ({(0)}^{2} + 1) {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = (0 + 1) {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.4.5

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1 {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.4.6

Mutltipliziere ${((0) + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$y = {((0) + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.4.7

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1^{2}$

Schritt 2.2.4.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{6}, 0), (- 1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 4