Algebra Beispiele

$\sqrt{2} \cdot x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = \sqrt{2}$ , $b = 7$ und $c = 5 \sqrt{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2}))}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $- 20 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.6

Subtrahiere $40$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 \pm 3$ heraus.

$x = \frac{- 1 (- (- 7 \pm 3)) \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 (- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 7 \pm 3$ mit $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren in $\frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ um.

$x = \frac{\sqrt{2} (- 7 \pm 3)}{4}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$x = - 1.41421356 \dots, - 3.53553390 \dots$